准备数学建模的过程简直就是一直挖坑入坑的过程。最近看了一道关于器官捐献的题目，是2007年的ICM，题目在这里可以看到。在准备的过程中学到了好多关于器官捐献系统的知识，感觉这个问题很有意思，就记录下自己的想法。

他们美帝，有一个网站叫做OPTN，是为了解决全国器官捐献的相关问题而建立的一个网络。以肾脏捐献为例，来看看他们是如何运作的。

肾脏捐献

首先，要看看肾脏捐献的一些小知识。

配对问题

说起器官移植，首先要考虑的就是器官的匹配问题。并不是随便一个器官就可以跟任何人匹配的，这也是常识吧。而我们的捐肾，所需要关注的指标主要是血型，如果血型不相配，那就必然不能换（这里的血型相配不是简单的完全匹配，比如AB配AB，而是不同血型之间也可能相配）。血型可谓是换肾的最大障碍。除此之外，还有一些指标，这些指标并不如血型重要，他们影响的是换肾以后的期望生存时间。就是这样的指标好，换肾以后你能活的更久一点，指标不好，也能活。简单来说就是对于换肾这个问题，血型是bool的判断，而其他指标是int级别的，血型具有一票否决权。

换肾场景

原本在我的想象中，器官捐献是这样的：有一群人是捐献者(Donor)，另有一群人是受捐献者(Recipient)，这两种人构成了捐献。而捐献者与被捐者之间，应该没有直接上的联系，主要是因为这样感觉是很正常的想法，受捐者等着肾源出肾，捐献者卖肾还钱。

但是其实还是我想的太简单了，人家美帝不是这样的，美帝禁止出售器官。他们更常见的情况是这样的，捐献者中有两种人，一种是为了人类和平，自愿捐肾的，另外一种是自己的亲人，妻子之类的亲属需要一个肾，而自己的肾又跟他/她不配，所以以自己捐肾为代价，希望为自己的他/她换一个肾来。其实在我觉得这就是变相的买卖。第一类人，被称作Non-Directed Donor，第二类人因为是成对出现的，一个Donor对应一个Recipient，但是他们的类型是不相配的，因此被称作Kidney Paired Donor。两类人在捐肾这个事业中扮演的角色是不一样的。同样的，Recipient也是有两类的，一类是只有肾的需要，没有对应的donor的人，另一种就是前面的Kidney Pair中的Recipient。前面一类姑且也将其称作Non-Directed Recipient，而后一类，将其称作Kidney Paired Recipient。

这两类人有着不同的诉求，首先看看Non-Directed Donor，他们捐献自己的器官，不是为了自己的亲人，而是为了更多人能够活下去，说到底非常无私。这类人希望看到怎么样的局面呢？他们是希望，接受自己器官的人能够尽可能活的久一点，这样自己的捐献才有意义。如果接受自己器官的人手术后没几天就不在了，那么显然捐献者会受到很大的打击。

而Kidney Paired Donor，他们只是想让自己的亲人得到一个肾，并没有太大的想法，所以相比较而言他们并不是太在意自己捐献器官的价值。

那么讨论完美帝肾脏捐献的一些基本情况，接下来我们可以看看OPTN在处理这个问题上的想法。

处理肾脏捐献的做法

只有Kidney Pair的情况

有很多论文是专门讲这个的，就是在reference里面的第一篇，以及第二篇。处理这个问题是很复杂的，因为单单考虑最优解，就很难了，还要考虑各种意外情况，比如说本来已经说要进行手术，后来又不做了，类似这样的现实问题，处理起来还是很困难的。而OPTN的做法是这样的，它只有2-way exchange以及3-way exchange。而什么是2-way什么是3-way呢，看下面的图就了解了

2-way exchange就是说第一个pair的donor捐献给与他相配的第二个pair的recipient，而作为回应第二个pair的donor会捐献自己的肾脏给第一个pair的recipient。3-way与其类似，就是指三个pair互相提供肾，如果把一个pair看成是一个节点，捐肾给另一个pair用链出的边表示，接受另一个pair捐来的肾用链入的边来表示，那么就是一个有三个节点的环。而事实上很多算法都是这样来表示的。

OPTN只允许2-way和3-way，感觉是出于一定的考量的。目前似乎最大规模的就是5-way换肾，是Johns Hopkins大学的医学院做出来的似乎。可能会是因为技术原因吧。

有Kidney Pair以及Non-Directed的情况

这种情况非常有意思，也是非常现实的情况。在Kidney Pair之间的互相捐献，已经在上面的情况中提到，而Kidney Pair跟Non-Directed Donor与Non-Directed Recipient之间的捐献，就很值得关注。在参考资料中的第三篇论文中，有一个比较详细的介绍。

大致是这样的，有三种做法。第一种，是设身处地为Non-Directed Donor着想，尽量把他们捐献的肾脏给最健康的Recipient，因为这样，他们看到自己的肾脏发挥了作用，一定很开心呢。第二种，是为Recipient着想，把Non-Directed Donor捐献的肾脏给最需要他们的人，而最需要他们的往往是将死之人，所以这样Donor会受到打击，但是社会本身不是就有保护弱者的责任么。第三种，是把Non-Directed Donor捐献的肾脏当成是一个社会资源，统一分配，OPTN就是负责分配的人。也就是可以理解为美帝采取的是第三种做法。

涉及到Non-Directed问题，具体的做法是这样的，对于一个Non-Directed Donor，他的捐献在整个捐献网络中形成一条链，他是一个起点，而终点是一个Non-Directed Recipient，链条其他的节点都是pair。这样做都有什么好处呢~首先，对于链的起点：Non-Directed Donor而言，他内心的成就感很大啊，因为他一个人，产生了类似多米诺骨牌的效应，导致了一整个链的人收益了，这他得多开心。对于链中间的节点，他们完成了自己的肾脏移植，也同时帮助到了其他人，也开心。而对于链的终点，那个幸运的接受了一个肾脏的Non-Directed Recipient，因此而存活了下来，你说开不开心。这个开心的链被称作多米诺移植。

这样的做法，就保证一个Non-Directed Donor总会使得一个Non-Directed Recipient受益，已经很不错了。但是在这样一个供不应求的市场上，还是不能从根本上解决问题，或者说根本不可能有方法从根本上解决问题吧。

趣闻

在美国，换肝大概需要等待1年的时间才能找到合适的器官，换肾更久，要3年左右。而在中国，换一个肝的等待时间是美帝的四分之一，肾可能更夸张吧，满天都是卖肾的广告。所以，很多外国人换器官都来我国换，不是因为技术，而是因为器官多，任性，而且便宜。

Reference

• Wallis, C. B., Samy, K. P., Roth, A. E., & Rees, M. A. (2011). Kidney paired donation. Nephrology Dialysis Transplantation, 26(7), 2091–2099. doi:10.1093/ndt/gfr155
• Kidney Paired Donation and Optimizing the Use of Live Donor Organs. (2005). Kidney Paired Donation and Optimizing the Use of Live Donor Organs, 1–8.
• Montgomery, R. A., Gentry, S. E., Marks, W. H., Warren, D. S., Hiller, J., Houp, J., et al. (2006). Domino paired kidney donation: a strategy to make best use of live non-directed donation. The Lancet, 368(9533), 419–421. doi:10.1016/S0140-6736(06)69115-0
• hopkinsmedicine